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几何之父——欧几里得

欧几里得(euclid)是古希腊著名数学家,欧氏几何学的开创者。欧几里得生于雅典,当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得,当他还是个十几岁的少年时,就迫不及待地想进入柏拉图学园学习。

一天,一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的柏拉图学园。只见学园的大门紧闭着,门口挂着一块木牌,上面写着:不懂几何者,不得入内! 这是当年柏拉图亲自立下的规矩,为的是让学生们知道他对数学的重视,然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想,正是因为我不懂数学,才要来这儿求教的呀,如果懂了,还来这儿做什么?正在人们面面相觑,不知是退、是进的时候,欧几里得从人群中走了出来,只见他整了整衣冠,看了看那块牌子,然后果断地推开了学园大门,头也没有回地走了进去。

柏拉图学园是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校。在学园里,师生之间的教学完全通过对话的形式进行,因此要求学生具有高度的抽象思维能力。数学,尤其是几何学,所涉及对象就是普遍而抽象的东西。它们同生活中的实物有关,但是又不来自于这些具体的事物,因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径。

柏拉图甚至声称:上帝就是几何学家。遂一观点不仅成为学园的主导思想,而且也为越来越多的希腊民众所接受。人们都逐渐地喜欢上了数学,欧几里德也不例外。他在有幸进入学园之后,便全身心地沉潜在数学王国里。他潜心求索,以继承柏拉图的学术为奋斗目标,除此之外,他哪儿也不去,什么也不干,熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿,可以说,连柏拉图的亲传弟子也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。

经过对柏拉图思想的深入探究,他得出结论:图形是神绘制的,所有一切现象的逻辑规律都体现在图形之中。因此,对智慧训练,就应该从图形为主要研究对象的几何学开始。他确实领悟到了柏拉图思想的要旨,并开始沿着柏拉图当年走过的道路,把几何学的研究作为自己的主要任务,并最终取得了世人敬仰的成就。

最早的几何学兴起于公元前7世纪的古埃及,后经古希腊等人传到古希腊的都城,又借毕达哥拉斯学派系统奠基。在欧几里得以前,人们已经积累了许多几何学的知识,然而这些知识当中,存在一个很大的缺点和不足,就是缺乏系统性。

大多数是片断、零碎的知识,公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性,更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。因此,随着社会经济的繁荣和发展,特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多,把这些几何学知识加以条理化和系统化,成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系,已经是刻不容缓,成为科学进步的大势所趋。

欧几里得通过早期对柏拉图数学思想,尤其是几何学理论系统而周详的研究,已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心,要在有生之年完成这一工作。为了完成这一重任,欧几里得不辞辛苦,长途跋涉,从爱琴海边的雅典古城,来到尼罗河流域的埃及新埠—亚历山大城,为的就是在这座新兴的,但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷。在此地的无数个日日夜夜里,他一边收集以往的数学专著和手稿,向有关学者请教,一边试着著书立说,阐明自己对几何学的理解,哪怕是尚肤浅的理解。

经过欧几里得忘我的劳动,终于在公元前300年结出丰硕的果实,这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书。这是一部传世之作,几何学正是有了它,不仅第一次实现了系统化、条理化,而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学,简称欧氏几何。

《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。传到今天的欧几里得著作并不多,然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中,看出他真实的思想底蕴。

全书共分13卷。书中包含了5条公理、5条公设、23个定义和467个命题。在每一卷内容当中,欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式,即先提出公理、公设和定义,然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。而在整部书的内容安排上,也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。

它由浅到深,从简至繁,先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论,成为近代微积分思想的来源。仅仅从这些卷帙的内容安排上,我们就不难发现,这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及,一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史。

这其中,颇有代表性的便是在第1卷到第4卷中,欧几里得对直边形和圆的论述。正是在这几卷中,他总结和发挥了前人的思维成果,巧妙地论证了毕达哥拉斯定理,也称勾股定理。即在一直角三角形中,斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和。他的这一证明,从此确定了勾股定理的正确性并延续了2000多年。

《几何原本》是一部在科学史上千古流芳的巨著。它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论,而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述,使这些远古的数学思想发扬光大。

它开创了古典数论的研究,在一系列公理、定义、公设的基础上,创立了欧几里得几何学体系,成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。照欧氏几何学的体系,所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的。在这种演绎推理中,对定理的每个证明必须或者以公理为前提,或者以先前就已被证明了的定理为前提,最后做出结论。

这一方法后来成了用以建立任何知识体系的严格方式,人们不仅把它应用于数学中,也把它应用于科学,而且也应用于神学甚至哲学和伦理学中,对后世产生了深远的影响。尽管欧几里得的几何学在差不多2000年间,被奉为严格思维的范例,但实际上它并非那么完美。

人们发现,一些被欧几里得作为不证自明的公理,却难以自明,越来越遭到怀疑。比如第五平行公设,欧几里得在《几何原本》一书中断言:通过已知外一已知点,能作且仅能作一条直线与已知直线平行。 这个结果在普通平面当中尚能够得到经验的印证,那么在无处不在的鐾鸱球面之中(地球就是个大曲面)这个平行公理却是不成立的。俄国人罗伯切夫斯基和德国人黎曼由此创立了球面几何学,即非欧几何学。

此外,欧几里得在《几何原本》中还对完全数做了探究,他通过 2^(n? 1)(2^n ? 1) 的表达式发现头四个完全数的。

当 n= 2: 2^1(2^2 ? 1) = 6 当 n= 3: 2^2(2^3 ? 1) = 28 当 n= 5: 2^4(2^5 ? 1) = 496 当 n= 7: 2^6(2^7 ? 1) = 8128 一个偶数是完全数,当且仅当它具有如下形式:2^(n ? 1).(2^n ? 1),此事实的充分性由欧几里得证明,而必要性则由欧拉所证明。

其中2^n? 1是素数,上面的6和28对应着n=2和3的情况。我们只要找到了一个形如2^n? 1的素数(即梅森素数),也就知道了一个偶完全数。

尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是12p 1或36p 9的形式,其中p是素数。在10^18以下的自然数中奇完全数是不存在的。

首五个完全数是:
 ; ; ; 6
 ; ; ; 28
 ; ; ; 496
 ; ; ; 8128
 ; ; ; 33550336(8位)

欧几里得是希腊亚历山大大学的数学教授。著名的古希腊学者阿基米德,是他学生的学生——卡农是阿基米德的老师,而欧几里得是卡农的老师。

欧几里得不仅是一位学识渊博的数学家,同时还是一位有温和仁慈的蔼然长者 之称的教育家。在著书育人过程中,他始终没有忘记当年挂在柏拉图学园门口的那块警示牌,牢记着柏拉图学派自古承袭的严谨、求实的传统学风。他对待学生既和蔼又严格,自己却从来不宣扬有什么贡献。

对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生,他总是循循善诱地予以启发和教育,而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人,则毫不客气地予以批评。在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯的《几何学发展概要》中,就记载着这样一则故事,说的是数学在欧几里得的推动下,逐渐成为人们生活中的一个时髦话题(这与当今社会截然相反),以至于当时亚里山大国王托勒密一世也想赶这一时髦,学点儿几何学。

虽然这位国王见多识广,但欧氏几何却令他学的很吃力。于是,他问欧几里得学习几何学有没有什么捷径可走?,欧几里得笑到:抱歉,陛下!学习数学和学习一切科学一样,是没有什么捷径可走的。学习数学,人人都得独立思考,就像种庄稼一样,不耕耘是不会有收获的。在这一方面,国王和普通老百姓是一样的。 从此,在几何学里,没有专为国王铺设的大道。这句话成为千古传诵的学习箴言。

又有则故事。那时候,人们建造了高大的金字塔,可是谁也不知道金字塔究竟有多高。有人这么说:要想测量金字塔的高度,比登天还难!这话传到欧几里得耳朵里。他笑着告诉别人:这有什么难的呢?当你的影子跟你的身体一样长的时候,你去量一下金字塔的影子有多长,那长度便等于

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